Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y \tan (x) - 2 \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y \tan (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - y \tan (x) = - 2 \sin (x)$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \tan (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \tan (x)) = - 2 \sin (x)$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $- 1 \tan (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) y = - 2 \sin (x)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1 \tan (x)$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 \tan (x) d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- 1 \tan (x)$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \tan (x) d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{- \ln (| \sec (x) |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (\sec (x))}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (\sec^{- 1} (x))}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\sec^{- 1} (x)$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec (x)}$

Schritt 2.7

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 2.8

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$1 \cos (x)$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\cos (x)$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x) y) = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.1

Versetze die Klammern.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 3.2.1.2

Stelle $\cos (x)$ und $- 1 \tan (x)$ um.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) \cos (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 3.2.1.3

Füge Klammern hinzu.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\tan (x) \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe $\cos (x) (- 1 \tan (x) y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 3.2.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 3.2.2

Schreibe $- 1 \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$ um.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - y \sin (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) y] = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\cos (x) y] d x = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\cos (x) y = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\cos (x) y = - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 7.2

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.2.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 7.2.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 7.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\cos (x) y = - 2 \int - u d u$

Schritt 7.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\cos (x) y = - 2 (- \int u d u)$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\cos (x) y = 2 \int u d u$

Schritt 7.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 7.6

Vereinfache.

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Schritt 7.6.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ um.

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Schritt 7.6.2

Vereinfache.

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Schritt 7.6.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Schritt 7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Schritt 7.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) y = 1 u^{2} + C$

Schritt 7.6.2.3

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) y = u^{2} + C$

Schritt 7.7

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ durch $\cos (x)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\cos (x)}$

Schritt 8.3.1.2

Separiere Brüche.

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 8.3.1.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \sec (x)$

Schritt 8.3.1.4

Dividiere $C$ durch $1$ .

$y = \cos (x) + C \sec (x)$