Analysis Beispiele

$\frac{d u}{d r} = \frac{3 + \sqrt{r}}{7 + \sqrt{u}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $7 + \sqrt{u}$ .

$(7 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (7 + \sqrt{u}) \frac{3 + \sqrt{r}}{7 + \sqrt{u}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 + \sqrt{u}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(7 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (7 + \sqrt{u}) \frac{3 + \sqrt{r}}{7 + \sqrt{u}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(7 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = 3 + \sqrt{r}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(7 + \sqrt{u}) d u = (3 + \sqrt{r}) d r$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 7 + \sqrt{u} d u = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 7 d u + \int \sqrt{u} d u = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Schritt 2.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$7 u + C_{1} + \int \sqrt{u} d u = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Schritt 2.2.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$7 u + C_{1} + \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$7 u + C_{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2} = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$7 u + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{3} = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Schritt 2.2.6

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = \int 3 d r + \int \sqrt{r} d r$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = 3 r + C_{4} + \int \sqrt{r} d r$

Schritt 2.3.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{r}$ als $r^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = 3 r + C_{4} + \int r^{\frac{1}{2}} d r$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $r^{\frac{1}{2}}$ nach $r$ gleich $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = 3 r + C_{4} + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{5}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = 3 r + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{6}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 3 r + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 3 r + K$