Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 4$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 4} (y^{2} + 4)$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 4$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2} + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 4} (y^{2} + 4)$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2} + 4} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2} + 4} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2} + 4} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle $y^{2}$ und $4$ um.

$\int \frac{1}{4 + y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\int \frac{1}{2^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1}$ als $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ um.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = x + K$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = x + K$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Schritt 3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Schritt 3.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (\frac{y}{2}) = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 \cdot x + K \cdot 2$

Schritt 3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 x + 2 K$

Schritt 3.2

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$\frac{y}{2} = \tan (2 x + 2 K)$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (2 x + 2 K)$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (2 x + 2 K)$

Schritt 3.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \tan (2 x + 2 K)$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = 2 \tan (2 x + K)$