Analysis Beispiele

$(x + y e^{2 x y}) d x + 1 x e^{2 x y} d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x + y e^{2 x y}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{2 x y}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y e^{2 x y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

Schritt 1.2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = 2 x y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.3

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \frac{d}{d y} [y])) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $e^{2 x y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Addiere $0$ und $y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

Schritt 1.4.3

Stelle die Faktoren in $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 x e^{2 x y}]$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{2 x y}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x y$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $e^{2 x y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 x e^{2 x y} d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = \int x e^{2 x y} d y$

Schritt 5.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x \int e^{2 x y} d y$

Schritt 5.3

Sei $u = 2 x y$ . Dann ist $d u = 2 x d y$ , folglich $\frac{1}{2 x} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.3.1

Es sei $u = 2 x y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Differenziere $2 x y$ .

$\frac{d}{d y} [2 x y]$

Schritt 5.3.1.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 5.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x \cdot 1$

Schritt 5.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x$

Schritt 5.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$f (x, y) = x \int e^{u} \frac{1}{2 x} d u$

Schritt 5.4

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2 x}$ .

$f (x, y) = x \int \frac{e^{u}}{2 x} d u$

Schritt 5.5

Da $\frac{1}{2 x}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2 x}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2 x} \int e^{u} d u)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2 x}$ und $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

Schritt 5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

Schritt 5.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 5.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Schritt 5.8

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Schritt 5.9

Ersetze alle $u$ durch $2 x y$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} e^{2 x y}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x y$ .

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Schritt 8.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x y$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x y$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.3.3

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.3.6

Kombiniere $e^{2 x y}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{2 x y}}{2} (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.3.7

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{2 x y}}{2}$ .

$\frac{2 e^{2 x y}}{2} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.3.8

Kombiniere $\frac{2 e^{2 x y}}{2}$ und $y$ .

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.3.9.2

Dividiere $e^{2 x y} y$ durch $1$ .

$e^{2 x y} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$e^{2 x y} y + \frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y = x + y e^{2 x y}$

Schritt 8.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y$ um.

$\frac{d g}{d x} + y e^{2 x y} = x + y e^{2 x y}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $y e^{2 x y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $y e^{2 x y}$ von $y e^{2 x y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Schritt 10.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x y}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 12.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$