Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} - 6 y = x^{2}$ , $y (1) = 10$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} - 6 y = x^{2}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{1}$

Schritt 1.3.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = x$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- 6 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 6}{x} = x$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{- 6}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6}{x} y = x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 6}{x}$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 6}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 6}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{6}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{6}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$e^{- (6 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 6 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{- 6 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 6 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 6})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 6}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{6}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{6}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{1}{x^{6}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{6}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (- \frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} (\frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{6}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x} = \frac{1}{x^{6}} x$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{6 y}{x}$ mit $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x \cdot x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} x$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1} x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} x$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1 + 6}} = \frac{1}{x^{6}} x$

Schritt 3.2.5.2.2

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{6}} x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x \cdot x^{5}} x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x \cdot x^{5}} x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] = \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] d x = \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{6}} y = \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Schritt 7.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{- 5} d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Schreibe $- \frac{1}{4} x^{- 4} + C$ als $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}} + C$ um.

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}} + C$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{4}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{x^{4} \cdot 4} + C$

Schritt 7.3.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Addiere $\frac{1}{4 x^{4}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{4 x^{4}} = C$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{6}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{6}} + \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Subtrahiere $\frac{1}{4 x^{4}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{6}} - C = - \frac{1}{4 x^{4}}$

Schritt 8.2.2

Addiere $C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{6}} = - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{6}$ .

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{6}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{6}$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{6}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(- \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{1}{4 x^{4}} x^{6} + C x^{6}$

Schritt 8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4 x^{4}}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 1}{4 x^{4}} x^{6} + C x^{6}$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$y = \frac{- 1}{x^{4} \cdot 4} x^{6} + C x^{6}$

Schritt 8.4.2.1.2.3

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{6}$ heraus.

$y = \frac{- 1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x^{2}) + C x^{6}$

Schritt 8.4.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x^{2}) + C x^{6}$

Schritt 8.4.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1}{4} x^{2} + C x^{6}$

Schritt 8.4.2.1.3

Kombiniere $\frac{- 1}{4}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{- x^{2}}{4} + C x^{6}$

Schritt 8.4.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + C x^{6}$

Schritt 8.4.2.1.4.2

Stelle $- \frac{x^{2}}{4}$ und $C x^{6}$ um.

$y = C x^{6} - \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $10$ für $y$ in $y = C x^{6} - \frac{x^{2}}{4}$ ersetzt wird.

$10 = C \cdot 1^{6} - \frac{1^{2}}{4}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $C \cdot 1^{6} - \frac{1^{2}}{4} = 10$ um.

$C \cdot 1^{6} - \frac{1^{2}}{4} = 10$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$C \cdot 1 - \frac{1^{2}}{4} = 10$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$C - \frac{1^{2}}{4} = 10$

Schritt 10.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$C - \frac{1}{4} = 10$

Schritt 10.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 10 + \frac{1}{4}$

Schritt 10.3.2

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$C = 10 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 10.3.3

Kombiniere $10$ und $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 10.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{10 \cdot 4 + 1}{4}$

Schritt 10.3.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.5.1

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$C = \frac{40 + 1}{4}$

Schritt 10.3.5.2

Addiere $40$ und $1$ .

$C = \frac{41}{4}$

Schritt 11

Setze $\frac{41}{4}$ für $C$ in $y = C x^{6} - \frac{x^{2}}{4}$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $\frac{41}{4}$ .

$y = \frac{41}{4} x^{6} - \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{41}{4}$ und $x^{6}$ .

$y = \frac{41 x^{6}}{4} - \frac{x^{2}}{4}$