Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sin (3 x + π)$ , $y (0) = 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \sin (3 x + π) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \sin (3 x + π) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \sin (3 x + π) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 3 x + π$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 3 x + π$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $3 x + π$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + π]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [π]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $3 x + π$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (3 x + π)}{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $4$ für $y$ in $y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + K$ ersetzt wird.

$4 = - \frac{1}{3} \cos (3 \cdot 0 + π) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot 0 + π) + K = 4$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot 0 + π) + K = 4$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \cos (0 + π) + K = 4$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $0$ und $π$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \cos (π) + K = 4$

Schritt 4.2.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \frac{1}{3} \cdot (- \cos (0)) + K = 4$

Schritt 4.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot (- 1 \cdot 1) + K = 4$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 1 + K = 4$

Schritt 4.2.1.6

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) + K = 4$

Schritt 4.2.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + K = 4$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 4 - \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 1}{3}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$K = \frac{12 - 1}{3}$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $1$ von $12$ .

$K = \frac{11}{3}$

Schritt 5

Setze $\frac{11}{3}$ für $K$ in $y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $\frac{11}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + \frac{11}{3}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\cos (3 x + π)$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x + π)}{3} + \frac{11}{3}$