Analysis Beispiele

$2 x (1 + y^{2}) d x + y (1 + x^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x (1 + y^{2}) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y (1 + x^{2}) d y = - 2 x (1 + y^{2}) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $y (1 + x^{2})$ heraus.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{1 + y^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $1 + y^{2}$ aus $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ heraus.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $1 + y^{2}$ aus $x (1 + y^{2})$ heraus.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{1 + x^{2}} x d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Schritt 4.2.1.1.5

Addiere $0$ und $2 y$ .

$2 y$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.4

Sei $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Es sei $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 4.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.4.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 4.3.4.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.3.10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |)) + 2 C$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({| 1 + x^{2} |}^{2}) = 2 C$

Schritt 5.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| 1 + x^{2} |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

Schritt 5.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

Schritt 5.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2})} = e^{2 C}$

Schritt 5.6

Schreibe $\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}$

Schritt 5.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.7.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ um.

$| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$

Schritt 5.7.2

Teile jeden Ausdruck in $| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ durch ${(1 + x^{2})}^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ durch ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.7.2.2.1.2

Dividiere $| 1 + y^{2} |$ durch $1$ .

$| 1 + y^{2} | = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.7.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.7.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1$

Schritt 5.7.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$