Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} + 4 y = 12$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = 4$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 4 d t}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{4 t + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{4 t}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{4 t}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + e^{4 t} (4 y) = e^{4 t} \cdot 12$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = e^{4 t} \cdot 12$

Schritt 2.3

Bringe $12$ auf die linke Seite von $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 12 \cdot e^{4 t}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 12 e^{4 t}$ um.

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 y e^{4 t} = 12 e^{4 t}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} y] = 12 e^{4 t}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{4 t} y] d t = \int 12 e^{4 t} d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{4 t} y = \int 12 e^{4 t} d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $12$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$e^{4 t} y = 12 \int e^{4 t} d t$

Schritt 6.2

Sei $u = 4 t$ . Dann ist $d u = 4 d t$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = 4 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Schritt 6.2.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{4 t} y = 12 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Schritt 6.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 t} y = 12 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$e^{4 t} y = 12 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $12$ .

$e^{4 t} y = \frac{12}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e^{4 t} y = \frac{4 \cdot 3}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e^{4 t} y = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{4 t} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{4 t} y = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$e^{4 t} y = 3 \int e^{u} d u$

Schritt 6.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{4 t} y = 3 (e^{u} + C)$

Schritt 6.7

Vereinfache.

$e^{4 t} y = 3 e^{u} + C$

Schritt 6.8

Ersetze alle $u$ durch $4 t$ .

$e^{4 t} y = 3 e^{4 t} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{4 t} y = 3 e^{4 t} + C$ durch $e^{4 t}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{4 t} y = 3 e^{4 t} + C$ durch $e^{4 t}$ .

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{3 e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{4 t}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{3 e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{4 t}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Schritt 7.3.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$y = 3 + \frac{C}{e^{4 t}}$