Analysis Beispiele

$e^{2 x} d y + (2 e^{2 x} y - x) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Forme um.

$(2 e^{2 x} y - x) d x + e^{2 x} d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 e^{2 x} y - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y - x]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{2 x} y - x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $2 e^{2 x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{2 x} y$ nach $y$ gleich $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2 e^{2 x}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x}$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = e^{2 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \cdot 2$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x}$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $2 e^{2 x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 e^{2 x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$

Schritt 4.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} d y$

Schritt 6

Integriere $N (x, y) = e^{2 x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{2 x} y + C$

Schritt 7

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$

Schritt 8

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y + g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 x} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{2 x} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$2 y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 9.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y$ um.

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 e^{2 x} y - x$

Schritt 10

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Stelle die Faktoren in $2 e^{2 x} y - x$ um.

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x} - x$

Schritt 10.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.2.1

Subtrahiere $2 y e^{2 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$

Schritt 10.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.2.2.1

Subtrahiere $2 y e^{2 x}$ von $2 y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

Schritt 10.1.2.2.2

Addiere $- x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x$

Schritt 11

Bestimme die Stammfunktion von $- x$ , um $g (x)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Schritt 11.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Schritt 11.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int x d x$

Schritt 11.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 11.5

Schreibe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 12

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 13

Vereinfache $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 13.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$ um.

$f (x, y) = y e^{2 x} - \frac{x^{2}}{2} + C$