Analysis Beispiele

$(2 x + 3) y^{6} d x + x^{4} (4 y + 5) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(2 x + 3) y^{6} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} (4 y + 5) d y = - (2 x + 3) y^{6} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{4} y^{6}}$ .

$\frac{1}{x^{4} y^{6}} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} y^{6}$ heraus.

$\frac{1}{x^{4} (y^{6})} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{4} y^{6}} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{6}} (4 y + 5) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{6}}$ mit $4 y + 5$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = - \frac{1}{x^{4} y^{6}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{6}$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{4} y^{6}}$ in den Zähler.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{x^{4} y^{6}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y^{6}$ aus $x^{4} y^{6}$ heraus.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y^{6}$ aus $(2 x + 3) y^{6}$ heraus.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} (y^{6} (2 x + 3)) d x$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} (y^{6} (2 x + 3)) d x$

Schritt 3.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{x^{4}} (2 x + 3) d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = - \frac{1}{x^{4}} (2 x + 3) d x$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{1}{x^{4}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{4}}$ in den Zähler.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x^{4}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Schritt 3.7.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Schritt 3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Schritt 3.7.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x^{3}} \cdot 2 - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{- 1}{x^{3}}$ und $2$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1 \cdot 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Schritt 3.10

Multipliziere $- \frac{1}{x^{4}} \cdot 3$ .

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}) d x$

Schritt 3.10.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}) d x$

Schritt 3.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}) d x$

Schritt 3.11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}) d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1.1

Bringe $y^{6}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (4 y + 5) {(y^{6})}^{- 1} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{6})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 y + 5) y^{6 \cdot - 1} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\int (4 y + 5) y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $(4 y + 5) y^{- 6}$ .

$\int 4 y \cdot y^{- 6} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.3

Multipliziere $y$ mit $y^{- 6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Bewege $y^{- 6}$ .

$\int 4 (y^{- 6} y) + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $y^{- 6}$ mit $y$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int 4 (y^{- 6} y^{1}) + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 y^{- 6 + 1} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $- 6$ und $1$ .

$\int 4 y^{- 5} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 y^{- 5} d y + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.5

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int y^{- 5} d y + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 5}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{4} y^{- 4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} y^{- 4} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.7

Vereinfache.

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Schritt 4.2.7.1

Kombiniere $y^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{y^{- 4}}{4} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.7.2

Bringe $y^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.8

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 \int y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 6}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{5} y^{- 5}$ .

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{1}{5} y^{- 5} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.10

Vereinfache.

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Schritt 4.2.10.1

Vereinfache.

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Schritt 4.2.10.1.1

Kombiniere $y^{- 5}$ und $\frac{1}{5}$ .

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{y^{- 5}}{5} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.10.1.2

Bringe $y^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.10.2

Vereinfache.

$\frac{- 1}{y^{4}} + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}}) + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.10.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.10.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y^{4}} + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}}) + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.10.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - 5 \frac{1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.10.3.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{5 y^{5}}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{- 5}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.10.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 4.2.10.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.10.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.10.3.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y^{5}$ heraus.

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (y^{5})} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.10.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.10.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{- 1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.10.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.3.4.2

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.3.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.3.4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

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Schritt 4.3.6.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.3.6.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4.3.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Schritt 4.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 4.3.9.2

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.9.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.9.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.9.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int x^{- 4} d x$

Schritt 4.3.10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{5})$

Schritt 4.3.11

Vereinfache.

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Schritt 4.3.11.1

Vereinfache.

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Schritt 4.3.11.1.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{5})$

Schritt 4.3.11.1.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{5})$

Schritt 4.3.11.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - \frac{- 1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

Schritt 4.3.11.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - - \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

Schritt 4.3.11.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = 1 \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

Schritt 4.3.11.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

Schritt 4.3.11.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{6}$

Schritt 4.3.11.3.5

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C_{6}$

Schritt 4.3.11.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.11.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C_{6}$

Schritt 4.3.11.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + C_{6}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + K$