Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{3 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{3 x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{3 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x |)}{3} + C$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3} = C$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1.1

Schreibe $\frac{\ln (| x |)}{3}$ als $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ um.

$\ln (| y |) - (\frac{1}{3} \ln (| x |)) = C$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Schritt 3.3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 3.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}})} = e^{C}$

Schritt 3.5

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$

Schritt 3.6.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.6.4

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{3}}$