Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3}$ , $s (1) = 14$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $20$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $20$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 20 \int t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 5 t^{2} - 3$ . Dann ist $d u = 10 t d t$ , folglich $\frac{1}{10} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 5 t^{2} - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $5 t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2} - 3]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 t^{2} - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t^{2}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$10 t + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $10 t$ und $0$ .

$10 t$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$s + C_{1} = 20 \int u^{3} \frac{1}{10} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{10}$ .

$s + C_{1} = 20 \int \frac{u^{3}}{10} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 20 (\frac{1}{10} \int u^{3} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $20$ .

$s + C_{1} = \frac{20}{10} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $10$ aus $20$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 (1)} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Schreibe $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ um.

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $5 t^{2} - 3$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $t$ und $14$ für $s$ in $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ ersetzt wird.

$14 = \frac{1}{2} {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 14$ um.

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 14$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1 - 3)}^{4} + K = 14$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(5 - 3)}^{4} + K = 14$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 14$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{4}$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Schritt 4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2^{3} + K = 14$

Schritt 4.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 + K = 14$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 14 - 8$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $8$ von $14$ .

$K = 6$

Schritt 5

Setze $6$ für $K$ in $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $6$ .

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + 6$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$s = \frac{1}{2} ({(5 t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Wende die Produktregel auf $5 t^{2}$ an.

$s = \frac{1}{2} (5^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{2 \cdot 4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.4

Wende die Produktregel auf $5 t^{2}$ an.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (5^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $5$ mit $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{6}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.7

Mutltipliziere $125$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 500 t^{6} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $500$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.9

Wende die Produktregel auf $5 t^{2}$ an.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (5^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.10

Potenziere $5$ mit $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.11

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.11.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{2 \cdot 2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{4}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.12

Mutltipliziere $25$ mit $6$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.13

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} \cdot 9 + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.14

Mutltipliziere $9$ mit $150$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.15

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.16

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.17

Mutltipliziere $- 27$ mit $20$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + {(- 3)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.18

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + 81) + 6$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 6$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (625 t^{8})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1.1

Kombiniere $625$ und $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{625}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 6$

Schritt 5.2.4.1.2

Kombiniere $\frac{625}{2}$ und $t^{8}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 6$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1500 t^{6}$ heraus.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 6$

Schritt 5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 6$

Schritt 5.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 6$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $1350 t^{4}$ heraus.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 6$

Schritt 5.2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 6$

Schritt 5.2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 6$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 540 t^{2}$ heraus.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 6$

Schritt 5.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 6$

Schritt 5.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 81 + 6$

Schritt 5.2.4.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $81$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + 6$

Schritt 5.3

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.4

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81 + 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81 + 12}{2}$

Schritt 5.6.2

Addiere $81$ und $12$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{93}{2}$