Analysis Beispiele

$3 x^{2} e^{y} d x + (x^{3} e^{y} - 1) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 x^{2} e^{y}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} e^{y}]$

Schritt 1.2

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} e^{y}$ nach $y$ gleich $3 x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{y}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{3} e^{y} - 1$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y} - 1]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} e^{y} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{3} e^{y}$ nach $x$ gleich $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{y} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{y} x^{2} + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere $3 e^{y} x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{y} x^{2}$

Schritt 2.5.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{y} x^{2}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{y}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 x^{2} e^{y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3 x^{2} e^{y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 x^{2} e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$3 x^{2} e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 3 x^{2} e^{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $3 e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3 e^{y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 e^{y} \int x^{2} d x$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 5.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $3 e^{y} \frac{1}{3} x^{3} + C$ um.

$f (x, y) = 3 e^{y} \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} e^{y} x^{3} + C$

Schritt 5.3.2.2

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $e^{y}$ .

$f (x, y) = \frac{3 e^{y}}{3} x^{3} + C$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{3 e^{y}}{3} x^{3} + C$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $e^{y}$ durch $1$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} e^{y} - 1$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3} + g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{y} x^{3} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{y} x^{3}$ nach $y$ gleich $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{3} e^{y} + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} - 1$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} = x^{3} e^{y} - 1$

Schritt 8.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3}$ um.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} e^{y} = x^{3} e^{y} - 1$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x^{3} e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} - 1 - x^{3} e^{y}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} e^{y} - 1 - x^{3} e^{y}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $x^{3} e^{y}$ von $x^{3} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - 1$

Schritt 9.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $- 1$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 1 d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 1 d y$

Schritt 10.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = - y + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = e^{y} x^{3} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = e^{y} x^{3} - y + C$

Schritt 12

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = e^{y} x^{3} - y + C$ um.

$f (x, y) = x^{3} e^{y} - y + C$