Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = 2 - \frac{3 y}{25 + 2 t}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ um.

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Schritt 1.1.1

Addiere $\frac{3 y}{25 + 2 t}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{25 + 2 t} = 2$

Schritt 1.1.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{2 t + 25} = 2$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $\frac{3 y}{2 t + 25}$ heraus.

$\frac{d y}{d t} + y \frac{3}{2 t + 25} = 2$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $\frac{3}{2 t + 25}$ um.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3}{2 t + 25} y = 2$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = \frac{3}{2 t + 25}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{3}{2 t + 25} d t}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{3}{2 t + 25}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{3 \int \frac{1}{2 t + 25} d t}$

Schritt 2.2.2

Sei $u = 2 t + 25$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = 2 t + 25$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Schritt 2.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t + 25$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Schritt 2.2.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Schritt 2.2.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.2.1.4.1

Da $25$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.2.2.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$e^{\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$e^{\frac{3}{2} \ln (| u |) + C}$

Schritt 2.2.8

Ersetze alle $u$ durch $2 t + 25$ .

$e^{\frac{3}{2} \ln (| 2 t + 25 |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{3}{2} \ln (2 t + 25)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln ({(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2 t + 25} y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2 t + 25}$ und $y$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{3 y}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Schritt 3.2.2

Kombiniere ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $2 t + 25$ aus ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)$ heraus.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Schritt 3.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.1

Multipliziere mit $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Schritt 3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Schritt 3.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)}{1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Schritt 3.2.4.4

Dividiere ${(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)$ durch $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Schritt 3.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 \cdot {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ um.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 y {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] d t = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 7.2

Sei $u = 2 t + 25$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.2.1

Es sei $u = 2 t + 25$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Differenziere $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Schritt 7.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t + 25$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Schritt 7.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Schritt 7.2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Schritt 7.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Schritt 7.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Schritt 7.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 7.2.1.4.1

Da $25$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 7.2.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 7.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Schritt 7.3

Kombiniere $u^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Schritt 7.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 1 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7.5.3

Mutltipliziere $\int u^{\frac{3}{2}} d u$ mit $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.7

Ersetze alle $u$ durch $2 t + 25$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ durch ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ durch ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und ${(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.3.3

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C \cdot \frac{5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.4.1

Kombiniere $C$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.3.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5} \cdot \frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}$ mit $\frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$