Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 4} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.4.1.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2})$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y + C_{1} = - 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 3}{3 x^{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 2.3.4.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.4.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{3})} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{x^{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{3}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{x^{3}} + K$