Analysis Beispiele

$(x + 2) d x - x d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(x + 2) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x d y = - (x + 2) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (- x) d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 d y = - \frac{1}{x} (x + 2) d x$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 d y = (- \frac{1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 d y = (- 1 - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Schritt 3.6

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot 2$ .

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 1 d y = (- 1 - 2 \frac{1}{x}) d x$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$- 1 d y = (- 1 + \frac{- 2}{x}) d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 1 d y = (- 1 - \frac{2}{x}) d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - 1 d y = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$- y + C_{1} = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 4.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 4.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

$- y + C_{1} = - x - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{x}{1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = x + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1}$ .

$y = x - 1 \cdot (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (- 2 \ln (| x |))$ als $- (- 2 \ln (| x |))$ um.

$y = x - (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3.1.5

Multipliziere $- (- 2 \ln (| x |))$ .

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Schritt 5.3.1.5.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y = x - - \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = x + 1 \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3.1.5.3

Mutltipliziere $\ln ({| x |}^{2})$ mit $1$ .

$y = x + \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3.1.6

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = x + \ln (x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3.1.7

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$y = x + \ln (x^{2}) - 1 \cdot C$

Schritt 5.3.1.8

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$y = x + \ln (x^{2}) - C$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = x + \ln (x^{2}) + C$