Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} y}{e^{2 - x^{3}}}$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y)$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{2 - x^{3}}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} {(e^{2 - x^{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 - x^{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{(2 - x^{3}) \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{2 \cdot - 1 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.2.4

Multipliziere $- x^{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + 1 x^{3}} d x$

Schritt 2.3.2.2.4.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + x^{3}} d x$

Schritt 2.3.3

Sei $u = - 2 + x^{3}$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u = - 2 + x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $- 2 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + x^{3}]$

Schritt 2.3.3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.3.1.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Schritt 2.3.3.1.5

Addiere $0$ und $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 2.3.5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.6.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.9

Ersetze alle $u$ durch $- 2 + x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ um.

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ als $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ ersetzt wird.

$1 = C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$ um.

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0}} = 1$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$C e^{2 e^{- 2}} = 1$

Schritt 6.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C e^{2 \frac{1}{e^{2}}} = 1$

Schritt 6.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ durch $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ durch $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ .

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Schritt 6.3.2.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Schritt 7

Setze $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ für $C$ in $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ .

$y = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ und $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ aus $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ heraus.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Schritt 7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Schritt 7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Schritt 7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{1}$

Schritt 7.4.4

Dividiere $e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$ durch $1$ .

$y = e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2$ heraus.

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Schritt 7.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2}$ heraus.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) - 2}{e^{2}}}$

Schritt 7.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)}{e^{2}}}$

Schritt 7.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)$ heraus.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 1)}{e^{2}}}$

Schritt 7.5.2

Multipliziere $e^{- 2 + x^{3}}$ mit $e^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3} + 2} - 1)}{e^{2}}}$

Schritt 7.5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 + x^{3} + 2$ .

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Schritt 7.5.2.2.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3} + 0} - 1)}{e^{2}}}$

Schritt 7.5.2.2.2

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3}} - 1)}{e^{2}}}$