Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x}$

Schritt 1

Wenn $v = \frac{d y}{d x}$ . Dann $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Setze $v$ für $\frac{d y}{d x}$ ein und $\frac{d v}{d x}$ für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , um eine Differentialgleichung mit der abhängigen Variablen $v$ und unabhängigen Variablen $x$ zu erhalten.

$\frac{d v}{d x} = v$

Schritt 2

Separiere die Variablen.

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Schritt 2.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = 1$

Schritt 2.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{v} d v = 1 d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{v} d v = \int d x$

Schritt 3.2

Das Integral von $\frac{1}{v}$ nach $v$ ist $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| v |) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C_{3}$ zusammen.

$\ln (| v |) = x + C_{3}$

Schritt 4

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 4.1

Um nach $v$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| v |)} = e^{x + C_{3}}$

Schritt 4.2

Schreibe $\ln (| v |) = x + C_{3}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x + C_{3}} = | v |$

Schritt 4.3

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 4.3.1

Schreibe die Gleichung als $| v | = e^{x + C_{3}}$ um.

$| v | = e^{x + C_{3}}$

Schritt 4.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{x + C_{3}}$

Schritt 5

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.1

Schreibe $e^{x + C_{3}}$ als $e^{x} e^{C_{3}}$ um.

$v = \pm e^{x} e^{C_{3}}$

Schritt 5.2

Stelle $e^{x}$ und $e^{C_{3}}$ um.

$v = \pm e^{C_{3}} e^{x}$

Schritt 5.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$v = C_{4} e^{x}$

Schritt 6

Ersetze alle $v$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{x}$

Schritt 7

Schreibe die Gleichung um.

$d y = C_{4} e^{x} d x$

Schritt 8

Integriere beide Seiten.

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Schritt 8.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int C_{4} e^{x} d x$

Schritt 8.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{x} d x$

Schritt 8.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Da $C_{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $C_{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{x} d x$

Schritt 8.3.2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (e^{x} + C_{6})$

Schritt 8.3.3

Vereinfache.

$y + C_{5} = C_{4} e^{x} + C_{7}$

Schritt 8.3.4

Stelle die Terme um.

$y + C_{5} = e^{x} C_{4} + C_{7}$

Schritt 8.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = e^{x} C + D$