Analysis Beispiele

$2 x y + 8 x + (x^{2} - 9) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x y + 8 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 9 \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 9 \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Schritt 1.1.2.2

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 9 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 8 x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x} - 9 \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} - 9 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 8 x$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $- 9 \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 9 = - 2 x y - 8 x$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 9$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 9) = - 2 x y - 8 x$

Schritt 1.1.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 3^{2}) = - 2 x y - 8 x$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{d y}{d x} ((x + 3) (x - 3)) = - 2 x y - 8 x$

Schritt 1.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3) = - 2 x y - 8 x$

Schritt 1.1.6

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3) = - 2 x y - 8 x$ durch $(x + 3) (x - 3)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3) = - 2 x y - 8 x$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.1.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 1.1.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.1.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 3)}{x - 3} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 1.1.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 3)}{x - 3} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.1.6.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.1.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.1.6.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{8 x}{(x + 3) (x - 3)}$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)}) - \frac{8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{8 x}{(x + 3) (x - 3)}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)}) - (\frac{8 x}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)}) - (\frac{8 x}{(x + 3) (x - 3)})$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{8 x}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y + 8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x y + 8 x$ heraus.

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 2 x (4)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.2.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (y) + 2 x (4)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y + 4)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 4)$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y + 4}$ .

$\frac{1}{y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 4} (- \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 4))$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y + 4} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 4} (\frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 4))$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 4$ .

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Schritt 1.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y + 4}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 4} (\frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 4))$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $y + 4$ aus $\frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 4)$ heraus.

$\frac{1}{y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 4} ((y + 4) \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 4} ((y + 4) \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 4} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 4} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = y + 4$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = y + 4$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 4$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 4$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.3.4

Sei $u_{2} = (x + 3) (x - 3)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u_{2} = (x + 3) (x - 3)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

Schritt 2.3.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 3$ und $g (x) = x - 3$ .

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.4.1.3.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.4.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.4.1.3.4.2

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.4.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.3.4.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.3.4.1.3.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

Schritt 2.3.4.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.4.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

Schritt 2.3.4.1.3.8.2

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$x + 3 + x - 3$

Schritt 2.3.4.1.3.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + 3 - 3$

Schritt 2.3.4.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.3.4.1.3.8.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.4.1.3.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 4 |) = - \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y + 4 |) + \ln (| (x + 3) (x - 3) |) = C$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 4 | | (x + 3) (x - 3) |) = C$

Schritt 3.3

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y + 4 | | x (x - 3) + 3 (x - 3) |) = C$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y + 4 | | x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |) = C$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y + 4 | | x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |) = C$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 3.4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$\ln (| y + 4 | | x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |) = C$

Schritt 3.4.1.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\ln (| y + 4 | | x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |) = C$

Schritt 3.4.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\ln (| y + 4 | | x \cdot x + 3 \cdot - 3 |) = C$

Schritt 3.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (| y + 4 | | x^{2} + 3 \cdot - 3 |) = C$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\ln (| y + 4 | | x^{2} - 9 |) = C$

Schritt 3.5

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (y + 4) (x^{2} - 9) |) = C$

Schritt 3.6

Multipliziere $(y + 4) (x^{2} - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y (x^{2} - 9) + 4 (x^{2} - 9) |) = C$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 9 + 4 (x^{2} - 9) |) = C$

Schritt 3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 9 + 4 x^{2} + 4 \cdot - 9 |) = C$

Schritt 3.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.1

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $y$ .

$\ln (| y x^{2} - 9 \cdot y + 4 x^{2} + 4 \cdot - 9 |) = C$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$\ln (| y x^{2} - 9 y + 4 x^{2} - 36 |) = C$

Schritt 3.8

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y x^{2} - 9 y + 4 x^{2} - 36 |)} = e^{C}$

Schritt 3.9

Schreibe $\ln (| y x^{2} - 9 y + 4 x^{2} - 36 |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} - 9 y + 4 x^{2} - 36 |$

Schritt 3.10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.10.1

Schreibe die Gleichung als $| y x^{2} - 9 y + 4 x^{2} - 36 | = e^{C}$ um.

$| y x^{2} - 9 y + 4 x^{2} - 36 | = e^{C}$

Schritt 3.10.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} - 9 y + 4 x^{2} - 36 = \pm e^{C}$

Schritt 3.10.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.10.3.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} - 9 y - 36 = \pm e^{C} - 4 x^{2}$

Schritt 3.10.3.2

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} - 9 y = \pm e^{C} - 4 x^{2} + 36$

Schritt 3.10.4

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} - 9 y$ heraus.

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Schritt 3.10.4.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2}$ heraus.

$y (x^{2}) - 9 y = \pm e^{C} - 4 x^{2} + 36$

Schritt 3.10.4.2

Faktorisiere $y$ aus $- 9 y$ heraus.

$y (x^{2}) + y \cdot - 9 = \pm e^{C} - 4 x^{2} + 36$

Schritt 3.10.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x^{2}) + y \cdot - 9$ heraus.

$y (x^{2} - 9) = \pm e^{C} - 4 x^{2} + 36$

Schritt 3.10.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y (x^{2} - 3^{2}) = \pm e^{C} - 4 x^{2} + 36$

Schritt 3.10.6

Faktorisiere.

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Schritt 3.10.6.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$y ((x + 3) (x - 3)) = \pm e^{C} - 4 x^{2} + 36$

Schritt 3.10.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$y (x + 3) (x - 3) = \pm e^{C} - 4 x^{2} + 36$

Schritt 3.10.7

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 3) (x - 3) = \pm e^{C} - 4 x^{2} + 36$ durch $(x + 3) (x - 3)$ und vereinfache.

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Schritt 3.10.7.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 3) (x - 3) = \pm e^{C} - 4 x^{2} + 36$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{36}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.10.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.10.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 3.10.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{36}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.10.7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{36}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.10.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 3.10.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{36}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.10.7.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{36}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.10.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.10.7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{36}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{36}{(x + 3) (x - 3)}$