Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 6 \cdot \frac{1}{e^{y}} \cdot \cos (x)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (6 \cdot \frac{1}{e^{y}} \cdot \cos (x))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{y} (\frac{1}{e^{y}} \cos (x))$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{e^{y}}$ und $\cos (x)$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{y} \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $e^{y}$ aus $6 e^{y}$ heraus.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 6 \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 6 \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 \cos (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$e^{y} d y = 6 \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{y} d y = \int 6 \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 6 \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 (\sin (x) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$e^{y} + C_{1} = 6 \sin (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} = 6 \sin (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (6 \sin (x) + K)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (6 \sin (x) + K)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (6 \sin (x) + K)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (6 \sin (x) + K)$