Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$ nach $x$ ist $\arcsin (x)$

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2.3.5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.5.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 2.3.5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + \arcsin (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{\frac{1}{2}} + \arcsin (x) + K$