Analysis Beispiele

$x^{2} d x + 2 y d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y d y = - x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 y d y = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y d y = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y^{2} + C_{1} = - \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Schreibe $- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ als $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ um.

$y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{2} = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{3} x^{3} + K}$

Schritt 3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{3} x^{3} + K}$ .

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + K}$

Schritt 3.2.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{3} + 3 K}{3}}$

Schritt 3.2.5

Schreibe $\sqrt{\frac{- x^{3} + 3 K}{3}}$ als $\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.2.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.2.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.2.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.2.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.8

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Schritt 3.2.9

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(- x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

Schritt 3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

Schritt 3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + K)}}{3}$