Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{2} e^{x}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 3$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 3 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 3 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 3 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 3 x} e^{x}$

Schritt 2.4

Multipliziere $e^{- 3 x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $e^{x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (e^{x} e^{- 3 x})$

Schritt 2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{x - 3 x}$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Schritt 2.6

Stelle die Faktoren in $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$ um.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{- 3 x} y = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 6.2

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 6.2.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 6.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 6.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 6.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 6.8

Vereinfache.

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 6.9

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ durch $e^{- 3 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ durch $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{- 2 x}$ und $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{- 3 x}$ aus $- \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ heraus.

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Dividiere $- \frac{1}{4} e^{x}$ durch $1$ .

$y = - \frac{1}{4} e^{x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.2

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{e^{x}}{4} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$