Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = - \frac{1}{49} (y - 21)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y - 21}$ .

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 21} (- \frac{1}{49} (y - 21))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{y - 21} (y - 21)$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y - 21}$ mit $\frac{1}{49}$ .

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{(y - 21) \cdot 49} (y - 21)$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 21$ .

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Schritt 1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(y - 21) \cdot 49}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{(y - 21) \cdot 49} (y - 21)$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $y - 21$ aus $(y - 21) \cdot 49$ heraus.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{(y - 21) (49)} (y - 21)$

Schritt 1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{(y - 21) \cdot 49} (y - 21)$

Schritt 1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{49}$

Schritt 1.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{49}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y - 21} d y = - \frac{1}{49} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y - 21} d y = \int - \frac{1}{49} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y - 21$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y - 21$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y - 21$ .

$\frac{d}{d y} [y - 21]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 21$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 21]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 21]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $- 21$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 21$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{49} d t$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{49} d t$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y - 21$ .

$\ln (| y - 21 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{49} d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y - 21 |) + C_{1} = - \frac{1}{49} t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y - 21 |) = - \frac{1}{49} t + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y - 21 |)} = e^{- \frac{1}{49} t + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y - 21 |) = - \frac{1}{49} t + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{49} t + C} = | y - 21 |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y - 21 | = e^{- \frac{1}{49} t + C}$ um.

$| y - 21 | = e^{- \frac{1}{49} t + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{49}$ .

$| y - 21 | = e^{- \frac{t}{49} + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y - 21 = \pm e^{- \frac{t}{49} + C}$

Schritt 3.3.4

Addiere $21$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{- \frac{t}{49} + C} + 21$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{t}{49} + C}$ als $e^{- \frac{t}{49}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \frac{t}{49}} e^{C} + 21$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{t}{49}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{t}{49}} + 21$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \frac{t}{49}} + 21$