Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y^{3} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = - y^{3}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (- y^{3})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{3}} y^{3}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y^{3}}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{3}} y^{3}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{3}} y^{3}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = - 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{3}} d y = - d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int - 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 3}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Schreibe $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 y^{2}, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 y^{2}$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 y^{2}} = - x + K$ mit $2 y^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 y^{2}} = - x + K$ mit $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = - 1 \cdot 2 x y^{2} + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 = - 2 x y^{2} + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = - 2 x y^{2} + 2 K y^{2}$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 x y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ um.

$- 2 x y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $- 2 x y^{2} + 2 K y^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $- 2 x y^{2}$ heraus.

$2 y^{2} (- x) + 2 K y^{2} = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $2 K y^{2}$ heraus.

$2 y^{2} (- x) + 2 y^{2} K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $2 y^{2} (- x) + 2 y^{2} K$ heraus.

$2 y^{2} (- x + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} (- x + K) = - 1$ durch $2 (- x + K)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} (- x + K) = - 1$ durch $2 (- x + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (- x + K)}{2 (- x + K)} = \frac{- 1}{2 (- x + K)}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2} (- x + K)}{2 (- x + K)} = \frac{- 1}{2 (- x + K)}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} (- x + K)}{- x + K} = \frac{- 1}{2 (- x + K)}$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x + K$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (- x + K)}{- x + K} = \frac{- 1}{2 (- x + K)}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (- x + K)}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- x + K)}$

Schritt 3.3.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (x) + K)}$

Schritt 3.3.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $K$ heraus.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (x) - 1 (- K))}$

Schritt 3.3.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- K)$ heraus.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (x - K))}$

Schritt 3.3.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.3.5.1

Schreibe $- (x - K)$ als $- 1 (x - K)$ um.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- 1 (x - K))}$

Schritt 3.3.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - - \frac{1}{2 (x - K)}$

Schritt 3.3.3.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{1}{2 (x - K)}$

Schritt 3.3.3.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 (x - K)}$ mit $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{2 (x - K)}$

Schritt 3.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{2 (x - K)}}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2 (x - K)}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2 (x - K)}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (x - K)}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (x - K)}}$

Schritt 3.3.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (x - K)}}$

Schritt 3.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2 (x - K)}}$ mit $\frac{\sqrt{2 (x - K)}}{\sqrt{2 (x - K)}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (x - K)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{\sqrt{2 (x - K)}}$

Schritt 3.3.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2 (x - K)}}$ mit $\frac{\sqrt{2 (x - K)}}{\sqrt{2 (x - K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{\sqrt{2 (x - K)} \sqrt{2 (x - K)}}$

Schritt 3.3.5.4.2

Potenziere $\sqrt{2 (x - K)}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{\sqrt{2 (x - K)}}^{1} \sqrt{2 (x - K)}}$

Schritt 3.3.5.4.3

Potenziere $\sqrt{2 (x - K)}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{\sqrt{2 (x - K)}}^{1} {\sqrt{2 (x - K)}}^{1}}$

Schritt 3.3.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{\sqrt{2 (x - K)}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{\sqrt{2 (x - K)}}^{2}}$

Schritt 3.3.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{2 (x - K)}}^{2}$ als $2 (x - K)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (x - K)}$ als ${(2 (x - K))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{({(2 (x - K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{(2 (x - K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{(2 (x - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{(2 (x - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{(2 (x - K))}^{1}}$

Schritt 3.3.5.4.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{2 (x - K)}$

Schritt 3.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{2 (x - K)}$

Schritt 3.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{2 (x - K)}$

Schritt 3.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{2 (x - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{2 (x - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{2 (x - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{2 (x - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{2 (x - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{2 (x - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{2 (x - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{2 (x - K)}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + K)}}{2 (x + K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + K)}}{2 (x + K)}$