Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x - 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = (x - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int x - 1 d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} - x + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x^{2}}{2}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K}$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - x) + 3 K}$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (\frac{x^{2}}{2} - x) + 3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - x + K)}$

Schritt 3.4.2

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + K)}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $- x$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + K)}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + K)}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x \cdot 2$ heraus.

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Schritt 3.4.4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + K)}$

Schritt 3.4.4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \cdot 2$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + K)}$

Schritt 3.4.4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + K)}$

Schritt 3.4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 2)}{2} + K)}$

Schritt 3.4.5

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 2)}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.6.1

Kombiniere $K$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Schritt 3.4.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x (x - 2) + K \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + K \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.4.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} + x \cdot - 2 + K \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.4.7.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - 2 \cdot x + K \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.4.7.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - 2 x + 2 K}{2}}$

Schritt 3.4.8

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2} - 2 x + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}{2}}$

Schritt 3.4.9

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 3.4.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.11.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.11.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.11.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 3.4.11.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.11.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.11.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.11.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.11.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.11.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.11.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.4.11.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 3.4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.12.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 3.4.12.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 3.4.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.13.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Schritt 3.4.13.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} - 2 x + K)}}{2}$