Analysis Beispiele

$y d x + 2 x d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x d y = - y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x y}$ in den Zähler.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $2 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (y^{2}) + \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} | x |) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y^{2} | x |)} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (y^{2} | x |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | x |$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $y^{2} | x | = e^{C}$ um.

$y^{2} | x | = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} | x | = e^{C}$ durch $| x |$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} | x | = e^{C}$ durch $| x |$ .

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Schritt 5.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ als $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

Schritt 5.5.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ mit $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

Schritt 5.5.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ mit $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

Schritt 5.5.4.3.2

Potenziere $\sqrt{| x |}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |}}$

Schritt 5.5.4.3.3

Potenziere $\sqrt{| x |}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1}}$

Schritt 5.5.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{| x |}}^{2}$ als $| x |$ um.

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Schritt 5.5.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{| x |}$ als ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{1}}$

Schritt 5.5.4.3.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x |}$

Schritt 5.5.4.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Schritt 5.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Schritt 5.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Schritt 5.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{C | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{C | x |}}{| x |}$