Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{3 y + 9}$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 y + 9}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = x + 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$e^{3 y + 9} d y = (x + 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{3 y + 9} d y = \int x + 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 3 y + 9$ . Dann ist $d u = 3 d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 3 y + 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $3 y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y + 9$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int x + 1 d x$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int x + 1 d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int x + 1 d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int x + 1 d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int x + 1 d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $3 y + 9$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x + 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x d x + \int d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 y + 9}$ .

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{3 y + 9} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{3 y + 9})$ durch Herausziehen von $3 y + 9$ aus dem Logarithmus.

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $3 y + 9$ mit $1$ .

$3 y + 9 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Schritt 3.5

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Dividiere $- 9$ durch $3$ .

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} - 3$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + K)}{3} - 3$