Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1 + x}{1 + y})}^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1 + x}{1 + y}$ an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(1 + y)}^{2}$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + y)}^{2}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Schritt 1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + x)}^{2}$

Schritt 1.3.2

Schreibe ${(1 + x)}^{2}$ als $(1 + x) (1 + x)$ um.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + x)$

Schritt 1.3.3

Multipliziere $(1 + x) (1 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 (1 + x) + x (1 + x)$

Schritt 1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)$

Schritt 1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Schritt 1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Schritt 1.3.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Schritt 1.3.4.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x \cdot x$

Schritt 1.3.4.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x^{2}$

Schritt 1.3.4.2

Addiere $x$ und $x$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x + x^{2}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

${(1 + y)}^{2} d y = (1 + 2 x + x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int {(1 + y)}^{2} d y = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 1 + y$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 1 + y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{2} d u = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + y$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x + \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3}) = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(1 + y)}^{3}$ .

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$1 + y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K} - 1$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + K} - 1$