Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ , $y (2) = 1$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $y$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Schritt 1.4

Stelle $y$ und $\frac{2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{\sin (x)}{x}$

Schritt 3.4

Kombiniere $x$ und $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Schritt 3.5.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x^{2} y = \int \sin (x) d x$

Schritt 7

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = - \cos (x) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = - \cos (x) + C$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = - \cos (x) + C$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $2$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ ersetzt wird.

$1 = - \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$ um.

$- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Berechne $\cos (2)$ .

$- \frac{0.99939082}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Schritt 10.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{0.99939082}{4} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Schritt 10.2.1.3

Dividiere $0.99939082$ durch $4$ .

$- 1 \cdot 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Schritt 10.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.2498477$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Schritt 10.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{4} = 1$

Schritt 10.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.3.1

Addiere $0.2498477$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{C}{4} = 1 + 0.2498477$

Schritt 10.3.2

Addiere $1$ und $0.2498477$ .

$\frac{C}{4} = 1.2498477$

Schritt 10.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Schritt 10.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Schritt 10.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$C = 4 \cdot 1.2498477$

Schritt 10.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.5.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1.2498477$ .

$C = 4.99939082$

Schritt 11

Setze $4.99939082$ für $C$ in $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $4.99939082$ .

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{4.99939082}{x^{2}}$