Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x}$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $x$ .

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Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 1.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (| x |) + C_{1}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\ln (| x |) + C_{1}) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (| x |)$ und $d v = 1$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - x + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{2} = x \ln (| x |) + C_{1} x - x + C_{5}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = x \ln (| x |) + C x - x + D$