Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x e^{x}$ , $y (1) = e - 1$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x e^{x}$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $- \frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x e^{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Schritt 3.2.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Schritt 3.2.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Schritt 3.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Schritt 3.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x e^{x}$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (e^{x}))$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = e^{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = e^{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} y = \int e^{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{1}{x} y = e^{x} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{y}{x} = e^{x} + C$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (e^{x} + C) x$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (e^{x} + C) x$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (e^{x} + C) x$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(e^{x} + C) x$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = e^{x} x + C x$

Schritt 8.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.2.1.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{x} x + C x$ um.

$y = x e^{x} + C x$

Schritt 8.3.2.1.2.2

Stelle $x e^{x}$ und $C x$ um.

$y = C x + x e^{x}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $e - 1$ für $y$ in $y = C x + x e^{x}$ ersetzt wird.

$e - 1 = C \cdot 1 + 1 e^{1}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $C \cdot 1 + 1 e^{1} = e - 1$ um.

$C \cdot 1 + 1 e = e - 1$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$C + 1 e^{1} = e - 1$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $e^{1}$ mit $1$ .

$C + e^{1} = e - 1$

Schritt 10.2.3

Vereinfache.

$C + e = e - 1$

Schritt 10.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.3.1

Subtrahiere $e$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = e - 1 - e$

Schritt 10.3.2

Subtrahiere $e$ von $e$ .

$C = 0 - 1$

Schritt 10.3.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$C = - 1$

Schritt 11

Setze $- 1$ für $C$ in $y = C x + x e^{x}$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $- 1$ .

$y = - 1 x + x e^{x}$

Schritt 11.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = - x + x e^{x}$