Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \sqrt{x}}$ , $y (4) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = - \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Schritt 2.3.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 2.3.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $- \frac{1}{3} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $- \frac{1}{3} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3}) x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{3} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $4$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$ ersetzt wird.

$0 = - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$ um.

$- \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{3} \cdot 2^{1} + K = 0$

Schritt 4.2.4

Berechne den Exponenten.

$- \frac{2}{3} \cdot 2 + K = 0$

Schritt 4.2.5

Multipliziere $- \frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{2}{3}) + K = 0$

Schritt 4.2.5.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{3} + K = 0$

Schritt 4.3

Addiere $\frac{4}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = \frac{4}{3}$

Schritt 5

Setze $\frac{4}{3}$ für $K$ in $y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{4}{3}$