Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - y = x e^{x}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (x e^{x})$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (x e^{x})$

Schritt 2.3

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Bewege $e^{x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} e^{- x} x$

Schritt 2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x - x} x$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0} x$

Schritt 2.4

Vereinfache $e^{0} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$

Schritt 2.5

Stelle die Faktoren in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$ um.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{- x} y = \int x d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $e^{- x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 7.3.1.3

Kombinieren.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 7.3.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$