Analysis Beispiele

$x y y' = 1 + y^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$

Schritt 2

Separiere die Variablen.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ durch $x y$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ durch $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 2.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 2.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 2.1.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Schritt 2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Schritt 2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Schritt 2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y}{x}$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Um $\frac{y}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Schritt 2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y \cdot y}{x y}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{x y}$

Schritt 2.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1 + y^{2}}{y}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y (x)}$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Schritt 2.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 2.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Sei $u = 1 + y^{2}$ . Dann ist $d u = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.2.1.1

Es sei $u = 1 + y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Differenziere $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Schritt 3.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 3.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 3.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Schritt 3.2.1.1.5

Addiere $0$ und $2 y$ .

$2 y$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.6

Ersetze alle $u$ durch $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Schritt 4.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Schritt 4.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Schritt 4.4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 4.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Schritt 4.6

Schreibe $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}$

Schritt 4.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.7.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ um.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Schritt 4.7.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache.

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Schritt 4.7.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 4.7.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 4.7.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.3.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{2 C} x^{2}$ um.

$| 1 + y^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

Schritt 4.7.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.7.4.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

Schritt 4.7.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

Schritt 4.7.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

Schritt 5

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

Schritt 5.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$