Analysis Beispiele

$\frac{d P}{d t} + P = 10$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = 1$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d t}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{t + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{t}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{t}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d P}{d t} + e^{t} P = e^{t} \cdot 10$

Schritt 2.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d P}{d t} + e^{t} P = 10 \cdot e^{t}$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren in $e^{t} \frac{d P}{d t} + e^{t} P = 10 e^{t}$ um.

$e^{t} \frac{d P}{d t} + P e^{t} = 10 e^{t}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{t} P] = 10 e^{t}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} P] d t = \int 10 e^{t} d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{t} P = \int 10 e^{t} d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$e^{t} P = 10 \int e^{t} d t$

Schritt 6.2

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$e^{t} P = 10 (e^{t} + C)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$e^{t} P = 10 e^{t} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{t} P = 10 e^{t} + C$ durch $e^{t}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{t} P = 10 e^{t} + C$ durch $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} P}{e^{t}} = \frac{10 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{t} P}{e^{t}} = \frac{10 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $P$ durch $1$ .

$P = \frac{10 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$P = \frac{10 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.3.1.2

Dividiere $10$ durch $1$ .

$P = 10 + \frac{C}{e^{t}}$