Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 0$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $\frac{2}{x}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (x)}$

Schritt 1.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{2})}$

Schritt 1.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{2}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \cdot 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \cdot 0$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \cdot 0$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \cdot 0$

Schritt 2.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $0$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 0$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 0$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 0 d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$x^{2} y = \int 0 d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$x^{2} y = 0 + C$

Schritt 6.2

Addiere $0$ und $C$ .

$x^{2} y = C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = C$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = C$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{x^{2}}$