Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (0) = 3$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$

Schritt 2.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$ um.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{x} y = \int x e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Schritt 6.2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 8

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $3$ für $y$ in $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ ersetzt wird.

$3 = 0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Schritt 9

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$ um.

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Schritt 9.2

Vereinfache $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$ .

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Schritt 9.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 3$

Schritt 9.2.2.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$- 1 + C = 3$

Schritt 9.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 3 + 1$

Schritt 9.3.2

Addiere $3$ und $1$ .

$C = 4$

Schritt 10

Setze $4$ für $C$ in $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 10.1

Ersetze $C$ durch $4$ .

$y = x - 1 + \frac{4}{e^{x}}$