Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2}$ , $y (1) = 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 3 x^{- 2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 3 x^{- 2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ als $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{3}{x} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $2$ für $y$ in $y = - \frac{3}{x} + K$ ersetzt wird.

$2 = - \frac{3}{1} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{3}{1} + K = 2$ um.

$- \frac{3}{1} + K = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Dividiere $3$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 3 + K = 2$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 + K = 2$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 2 + 3$

Schritt 4.3.2

Addiere $2$ und $3$ .

$K = 5$

Schritt 5

Setze $5$ für $K$ in $y = - \frac{3}{x} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $5$ .

$y = - \frac{3}{x} + 5$