Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = 2 y^{2} t$ , $y (3) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} (2 y^{2} t)$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} t)$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} t$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} (t))$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 t$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 2 t d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 2 t d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 2 t d t$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 2 t d t$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 2 t d t$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 2 t d t$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 2 t d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int t d t$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 t^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = t^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = t^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = t^{2} y + K y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = t^{2} y + K y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $t^{2} y + K y = - 1$ um.

$t^{2} y + K y = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $t^{2} y + K y$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $t^{2} y$ heraus.

$y t^{2} + K y = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y t^{2} + y K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y t^{2} + y K$ heraus.

$y (t^{2} + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y (t^{2} + K) = - 1$ durch $t^{2} + K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (t^{2} + K) = - 1$ durch $t^{2} + K$ .

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2} + K$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{t^{2} + K}$

Schritt 4

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $3$ für $t$ und $1$ für $y$ in $y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ ersetzt wird.

$1 = - \frac{1}{3^{2} + K}$

Schritt 5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$ um.

$- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$

Schritt 5.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{1}{9 + K} = 1$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$9 + K, 1$

Schritt 5.3.2

Entferne die Klammern.

$9 + K, 1$

Schritt 5.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$9 + K$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{9 + K} = 1$ mit $9 + K$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{9 + K} = 1$ mit $9 + K$ .

$- \frac{1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9 + K$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{9 + K}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = 1 (9 + K)$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Mutltipliziere $9 + K$ mit $1$ .

$- 1 = 9 + K$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $9 + K = - 1$ um.

$9 + K = - 1$

Schritt 5.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 1 - 9$

Schritt 5.5.2.2

Subtrahiere $9$ von $- 1$ .

$K = - 10$

Schritt 6

Setze $- 10$ für $K$ in $y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.1

Ersetze $K$ durch $- 10$ .

$y = - \frac{1}{t^{2} - 10}$