Analysis Beispiele

$(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x - 6 y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 6 y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Schritt 1.2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 6 y$ nach $y$ gleich $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6$

Schritt 1.4

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 5 x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 6$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $5$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 6 = 5$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 6 = 5$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $5$ .

$\frac{- 6 - 5}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $5 x$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $5 x$ .

$\frac{- 6 - 5}{5 x}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $5$ von $- 6$ .

$\frac{- 11}{5 x}$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{5 x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{5 x} d x}$

Schritt 5.2

Da $\frac{11}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{11}{5}$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 5.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1

Multipliziere $- \frac{11}{5} \ln (| x |)$ .

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Schritt 5.5.1.1

Stelle $\ln (| x |)$ und $\frac{11}{5}$ um.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \ln (| x |))} + C$

Schritt 5.5.1.2

Vereinfache $\frac{11}{5} \ln (| x |)$ , indem du $\frac{11}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})} + C$

Schritt 5.5.2

Vereinfache $- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1})} + C$

Schritt 5.5.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1} + C$

Schritt 5.5.4

Multipliziere die Exponenten in ${({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11}{5} \cdot - 1} + C$

Schritt 5.5.4.2

Multipliziere $\frac{11}{5} \cdot - 1$ .

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Schritt 5.5.4.2.1

Kombiniere $\frac{11}{5}$ und $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11 \cdot - 1}{5}} + C$

Schritt 5.5.4.2.2

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 11}{5}} + C$

Schritt 5.5.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{11}{5}} + C$

Schritt 5.5.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{11}{5}}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x - 6 y$ mit $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$(x - 6 y) \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x - 6 y$ mit $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $5 x$ mit $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Schritt 6.4

Multipliziere $5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

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Schritt 6.4.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + x \frac{5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Schritt 6.4.2

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{x \cdot 5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Schritt 6.5

Bringe $x^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} d y = 0$

Schritt 6.6

Multipliziere $x^{\frac{11}{5}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1}} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} d y = 0$

Schritt 6.6.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

Schritt 6.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

Schritt 6.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} d y = 0$

Schritt 6.6.5.2

Subtrahiere $5$ von $11$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} y + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ und $y$ .

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $5 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}$ nach $x$ gleich $5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}]$ .

$5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ als ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ um.

$5 y \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{6}{5}}$ .

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Schritt 11.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{6}{5}}$ .

$5 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{6}{5}}$ .

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{6}{5}$ .

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2}$ .

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Schritt 11.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 y (- x^{\frac{6}{5} \cdot - 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.5.2

Multipliziere $\frac{6}{5} \cdot - 2$ .

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Schritt 11.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{6}{5}$ und $- 2$ .

$5 y (- x^{\frac{6 \cdot - 2}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.5.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$5 y (- x^{\frac{- 12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.9.2

Subtrahiere $5$ von $6$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{1}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.10

Kombiniere $\frac{6}{5}$ und $x^{\frac{1}{5}}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} \frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.11

Kombiniere $\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}$ und $x^{- \frac{12}{5}}$ .

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{1}{5}} x^{- \frac{12}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.12

Multipliziere $x^{\frac{1}{5}}$ mit $x^{- \frac{12}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.3.12.1

Bewege $x^{- \frac{12}{5}}$ .

$5 y (- \frac{6 (x^{- \frac{12}{5}} x^{\frac{1}{5}})}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{12}{5} + \frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 12 + 1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.12.4

Addiere $- 12$ und $1$ .

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.13

Bringe $x^{- \frac{11}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 y (- \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 y \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.15

Kombiniere $- 5$ und $\frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ .

$y \frac{- 5 \cdot 6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.16

Mutltipliziere $- 5$ mit $6$ .

$y \frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.17

Kombiniere $y$ und $\frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{y \cdot - 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.18

Bringe $- 30$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{- 30 \cdot y}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.19

Faktorisiere $5$ aus $- 30 y$ heraus.

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.20.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{\frac{11}{5}}$ heraus.

$\frac{5 (- 6 y)}{5 (x^{\frac{11}{5}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.20.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.3.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Vereinfache $\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} - \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

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Schritt 12.1.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - (x - 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x - (- 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Schritt 12.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x + 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 6 y - x + 6 y$ .

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Schritt 12.1.1.3.1

Addiere $- 6 y$ und $6 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2

Addiere $- x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.4.1

Bringe $x^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2

Multipliziere $x^{\frac{11}{5}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.1.4.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2.5.2

Subtrahiere $5$ von $11$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

Schritt 13.3

Bringe $x^{\frac{6}{5}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1} d x$

Schritt 13.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ .

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Schritt 13.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{\frac{6}{5} \cdot - 1} d x$

Schritt 13.4.2

Multipliziere $\frac{6}{5} \cdot - 1$ .

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Schritt 13.4.2.1

Kombiniere $\frac{6}{5}$ und $- 1$ .

$g (x) = \int x^{\frac{6 \cdot - 1}{5}} d x$

Schritt 13.4.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$g (x) = \int x^{\frac{- 6}{5}} d x$

Schritt 13.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (x) = \int x^{- \frac{6}{5}} d x$

Schritt 13.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{6}{5}}$ nach $x$ gleich $- 5 x^{- \frac{1}{5}}$ .

$g (x) = - 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$

Schritt 13.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.6.1

Schreibe $- 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$ als $- 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$ um.

$g (x) = - 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Schritt 13.6.2

Vereinfache.

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Schritt 13.6.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$g (x) = \frac{- 5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Schritt 13.6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (x) = - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$