Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y + y^{3}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y + y^{3}}$ .

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + y^{3}} (y + y^{3})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + y^{3}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + y^{3}} (y + y^{3})$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y + y^{3}} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + y^{3}} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.2.1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y + y^{3}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1}{y^{1} + y^{3}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{1}{y \cdot 1 + y^{3}}$

Schritt 2.2.1.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \cdot y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.1.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y \cdot y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y \cdot (1 + y^{2})}$

Schritt 2.2.1.1.1.5

Mutltipliziere $y$ mit $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{y (1 + y^{2})}$

Schritt 2.2.1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{y} + \frac{B y + C}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $y (1 + y^{2})$ .

$\frac{1 (y (1 + y^{2}))}{y (1 + y^{2})} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (y (1 + y^{2}))}{y (1 + y^{2})} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (1 + y^{2})}{1 + y^{2}} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (1 + y^{2})}{1 + y^{2}} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.6.1.2

Dividiere $A (1 + y^{2})$ durch $1$ .

$1 = A (1 + y^{2}) + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A \cdot 1 + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.6.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.6.4.2

Dividiere $(B y + C) (y)$ durch $1$ .

$1 = A + A y^{2} + (B y + C) (y)$

Schritt 2.2.1.1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A + A y^{2} + B y \cdot y + C y$

Schritt 2.2.1.1.6.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.6.6.1

Bewege $y$ .

$1 = A + A y^{2} + B (y \cdot y) + C y$

Schritt 2.2.1.1.6.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$1 = A + A y^{2} + B y^{2} + C y$

Schritt 2.2.1.1.7

Bewege $A$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} + C y + A$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $y^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 2.2.1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $y$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 2.2.1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $y$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 2.2.1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Schritt 2.2.1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.2.1.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Schritt 2.2.1.3.2

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Schritt 2.2.1.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.2.1.3.3.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + B$ durch $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 2.2.1.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 2.2.1.3.4

Löse in $0 = 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.2.1.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + B = 0$ um.

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 2.2.1.3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 2.2.1.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Schritt 2.2.1.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Schritt 2.2.1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{y} + \frac{B y + C}{1 + y^{2}}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{y} + \frac{- 1 y + 0}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{y} + \frac{(- 1) \cdot y + 0}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.5.2.1

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{1}{y} + \frac{- y + 0}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.5.2.2

Addiere $- y$ und $0$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- y}{1 + y^{2}}$

Schritt 2.2.1.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{y} - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.5

Sei $u = 1 + y^{2}$ . Dann ist $d u = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.5.1

Es sei $u = 1 + y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.5.1.1

Differenziere $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Schritt 2.2.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.5.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Schritt 2.2.5.1.5

Addiere $0$ und $2 y$ .

$2 y$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Schritt 2.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Schritt 2.2.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Schritt 2.2.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Schritt 2.2.9

Vereinfache.

$\ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Schritt 2.2.10

Ersetze alle $u$ durch $1 + y^{2}$ .

$\ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{3} = \int d x$

Schritt 2.2.11

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) = x + C$