Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = e^{2 t}$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $t$ .

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Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $t$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{2 t} d t$

Schritt 1.2

Sei $u_{1} = 2 t$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.2.1

Es sei $u_{1} = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 1.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{d x}{d t} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 1.3

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Schritt 1.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 1.5

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1})$

Schritt 1.6

Vereinfache.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1}$

Schritt 1.7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 t$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d x = (\frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}) d t$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d x = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Schritt 3.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Schritt 3.3.3

Sei $u_{2} = 2 t$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Es sei $u_{2} = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 3.3.3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Schritt 3.3.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d t$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Schritt 3.3.7

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d t$

Schritt 3.3.8

Wende die Konstantenregel an.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + C_{1} t + C_{4}$

Schritt 3.3.9

Vereinfache.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C_{1} t + C_{5}$

Schritt 3.3.10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 t$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{2 t} + C_{1} t + C_{5}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$x = \frac{1}{4} e^{2 t} + C t + D$