Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{3}$ , $y (0) = 9$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 3 x^{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 3 x^{3} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 3 x^{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{3} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ als $3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{3}{4} x^{4} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $9$ für $y$ in $y = \frac{3}{4} x^{4} + K$ ersetzt wird.

$9 = \frac{3}{4} \cdot 0^{4} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + K = 9$ um.

$\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + K = 9$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0 + K = 9$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $0$ .

$0 + K = 9$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 9$

Schritt 5

Setze $9$ für $K$ in $y = \frac{3}{4} x^{4} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $9$ .

$y = \frac{3}{4} x^{4} + 9$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{4}$ .

$y = \frac{3 x^{4}}{4} + 9$