Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = \cos (t) - \sin (t)$ , $s (0) = 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = (\cos (t) - \sin (t)) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$s + C_{1} = \int \cos (t) d t + \int - \sin (t) d t$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\cos (t)$ nach $t$ ist $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} + \int - \sin (t) d t$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - \int \sin (t) d t$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\sin (t)$ nach $t$ ist $- \cos (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - (- \cos (t) + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$s + C_{1} = \sin (t) + \cos (t) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = \sin (t) + \cos (t) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $t$ und $3$ für $s$ in $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ ersetzt wird.

$3 = \sin (0) + \cos (0) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\sin (0) + \cos (0) + K = 3$ um.

$\sin (0) + \cos (0) + K = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\sin (0) + \cos (0) + K$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 + \cos (0) + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 1 + K = 3$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1 + K = 3$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 3 - 1$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$K = 2$

Schritt 5

Setze $2$ für $K$ in $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $2$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + 2$