Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (x)}{x}$ mit $\frac{y^{2} + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x y}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{y x}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{y x}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x}$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $y^{2} + 1$ aus $\ln (x) (y^{2} + 1)$ heraus.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) \ln (x)}{x}$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) \ln (x)}{x}$

Schritt 1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = y^{2} + 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = y^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 y + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $2 y$ und $0$ .

$2 y$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = \ln (x)$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.3.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln^{2} (x)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = \ln^{2} (x) + 2 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y^{2} + 1 |)} = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| y^{2} + 1 |) = \ln^{2} (x) + 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\ln^{2} (x) + 2 C} = | y^{2} + 1 |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| y^{2} + 1 | = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$ um.

$| y^{2} + 1 | = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C} - 1$

Schritt 3.5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C} - 1}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x) + C} - 1}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{\ln^{2} (x) + C}$ als $e^{\ln^{2} (x)} e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x)} e^{C} - 1}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{\ln^{2} (x)}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{\ln^{2} (x)} - 1}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt{C e^{\ln^{2} (x)} - 1}$