Analysis Beispiele

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ durch $e^{5 x}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ durch $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{5 x}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{5 x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$y + C_{1} = 7 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{5 x})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{- 5 x} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $e^{- 5 x}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = 7 \int e^{- 5 x} d x$

Schritt 2.3.3

Sei $u = - 5 x$ . Dann ist $d u = - 5 d x$ , folglich $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u = - 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.3.3.1.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Schritt 2.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 5$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Schritt 2.3.4.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = 7 \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 7 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Schritt 2.3.7

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 7 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 7$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{5} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.10

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.11

Ersetze alle $u$ durch $- 5 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + K$