Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y$

Schritt 1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 2 x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (2 x)$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 x)$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$ um.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 x e^{2 x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 2 x e^{2 x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{2 x} y = \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = 2 \int x e^{2 x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Schritt 7.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Schritt 7.5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Schritt 7.6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 7.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Schritt 7.8

Vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Schritt 7.10

Schreibe $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ als $2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ um.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 7.11

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Schritt 7.12

Vereinfache.

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Schritt 7.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Schritt 7.12.1.2

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Schritt 7.12.1.3

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.12.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.12.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.12.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{2 x}}{4}$ in den Zähler.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Schritt 7.12.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 (2)} + C$

Schritt 7.12.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 7.12.4.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.12.6

Um $x e^{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.12.7

Kombiniere $x e^{2 x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.12.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.12.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.12.9.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.12.9.2

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 7.12.9.2.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $2 x e^{2 x}$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.12.9.2.2

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- e^{2 x}$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Schritt 7.12.9.2.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ durch $e^{2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.4

Schreibe $- 1 e^{2 x}$ als $- e^{2 x}$ um.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{2 x} x$ heraus.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{e^{2 x} x + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.8

Vereinige $e^{2 x} x$ und $- \frac{e^{2 x}}{2}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 8.3.2.8.1

Stelle $e^{2 x}$ und $x$ um.

$y = \frac{x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.8.2

Um $x e^{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.8.3

Kombiniere $x e^{2 x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.2.9.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.9.2

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 8.3.2.9.2.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $2 x e^{2 x}$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.9.2.2

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- e^{2 x}$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.9.2.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.3

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.4.1

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.5.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.5.4

Schreibe $- 1 e^{2 x}$ als $- e^{2 x}$ um.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.5.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.6

Stelle die Faktoren in $\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}$ um.

$y = \frac{\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.8

Mutltipliziere $\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}$ mit $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2 e^{2 x}}$