Analysis Beispiele

$(2 x^{3} y^{2} - e^{x}) d x + (x^{4} y + 2 y^{3}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2} - e^{x}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} y^{2} - e^{x}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3} y^{2}$ nach $y$ gleich $2 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} y + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $- e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} y + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $4 x^{3} y$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{4} y + 2 y^{3}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} y + 2 y^{3}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} y + 2 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{4} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Schritt 2.3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Schritt 2.4

Da $2 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x^{3} + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere $4 y x^{3}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x^{3}$

Schritt 2.5.2

Stelle die Faktoren von $4 y x^{3}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $4 x^{3} y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $4 x^{3} y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$4 x^{3} y = 4 x^{3} y$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$4 x^{3} y = 4 x^{3} y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} y + 2 y^{3} d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = x^{4} y + 2 y^{3}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x^{4} y d y + \int 2 y^{3} d y$

Schritt 5.2

Da $x^{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x^{4}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x^{4} \int y d y + \int 2 y^{3} d y$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 y^{3} d y$

Schritt 5.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 \int y^{3} d y$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + 2 (\frac{1}{4} y^{4}) + C$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} y^{2} + 2 (\frac{1}{4} y^{4}) + C$

Schritt 5.7.2

Kombiniere $\frac{x^{4}}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + 2 (\frac{1}{4} y^{4}) + C$

Schritt 5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + 2 \frac{y^{4}}{4} + C$

Schritt 5.7.4

Kombiniere $2$ und $\frac{y^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 y^{4}}{4} + C$

Schritt 5.7.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.7.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{4}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 (y^{4})}{4} + C$

Schritt 5.7.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 y^{4}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 5.7.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 y^{4}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 5.7.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$

Schritt 5.8

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}]$ .

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{x^{4}}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.3.3

Da $\frac{y^{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{4} y^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{y^{2}}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.3.5

Kombiniere $4$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{4 y^{2}}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.3.6

Kombiniere $\frac{4 y^{2}}{2}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 y^{2} x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 8.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y^{2} x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y^{2} x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.3.7.2.4

Dividiere $2 y^{2} x^{3}$ durch $1$ .

$2 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.4

Da $\frac{1}{2} y^{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 y^{2} x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$2 y^{2} x^{3} + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Addiere $2 y^{2} x^{3}$ und $0$ .

$2 y^{2} x^{3} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 8.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{3} y^{2} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $2 x^{3} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x} - 2 x^{3} y^{2}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} y^{2} - e^{x} - 2 x^{3} y^{2}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $2 x^{3} y^{2}$ von $2 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Schritt 9.1.2.2

Subtrahiere $e^{x}$ von $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $- e^{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Schritt 10.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Schritt 10.4

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache.

$g (x) = - e^{x} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} - e^{x} + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} - e^{x} + C$

Schritt 12.2

Kombiniere $\frac{x^{4}}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} - e^{x} + C$

Schritt 12.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} - e^{x} + C$