Analysis Beispiele

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 1

Schreibe das Problem als einen mathematischen Ausdruck.

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Schritt 2.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 6 x^{2} + y^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} + y^{3}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $12 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $2 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $12 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x = 12 x$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 x = 12 x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $12 x$ .

$\frac{12 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 x$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $2 x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $2 x y$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{2 x y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $12 x - 1 \cdot 2 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 12 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 1 \cdot 2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{x (12 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x (12 - 2)}{2 x y}$

Schritt 5.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $12$ .

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10}{2 y}$

Schritt 5.3.4

Ersetze $M$ durch $2 x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (y)}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{5}{y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int \frac{5}{y} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{5 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{5 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{5 \ln (| y |)} + C$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Vereinfache $5 \ln (| y |)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{5})} + C$

Schritt 6.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{5} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $y^{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $2 x y$ mit $y^{5}$ .

$2 x y \cdot y^{5} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.2

Multipliziere $y$ mit $y^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Bewege $y^{5}$ .

$2 x (y^{5} y) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $y^{5}$ mit $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$2 x (y^{5} y^{1}) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x y^{5 + 1} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.2.3

Addiere $5$ und $1$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $6 x^{2} + y^{3}$ mit $y^{5}$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) y^{5} d y = 0$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3} y^{5}) d y = 0$

Schritt 7.5

Multipliziere $y^{3}$ mit $y^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3 + 5}) d y = 0$

Schritt 7.5.2

Addiere $3$ und $5$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{8}) d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{6} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = 2 x y^{6}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Da $2 y^{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 y^{6}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 y^{6} \int x d x$

Schritt 9.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 9.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Schreibe $2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = 2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 9.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{6} \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 9.3.2.2

Kombiniere $y^{6}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{6} \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Schritt 9.3.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{6}}{2} x^{2} + C$

Schritt 9.3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Schritt 9.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Schritt 9.3.2.5.2

Dividiere $y^{6}$ durch $1$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{6} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{6} x^{2}$ nach $y$ gleich $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$x^{2} (6 y^{5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Schritt 12.3.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 6 y^{5} x^{2} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Subtrahiere $6 y^{5} x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Schritt 13.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $6 x^{2} y^{5}$ und $- 6 y^{5} x^{2}$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = 6 y^{5} x^{2} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Schritt 13.1.2.2

Subtrahiere $6 y^{5} x^{2}$ von $6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8} + 0$

Schritt 13.1.2.3

Addiere $y^{8}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $y^{8}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = y^{8}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{8} d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{8} d y$

Schritt 14.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{8}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{9} y^{9}$ .

$g (y) = \frac{1}{9} y^{9} + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{1}{9} y^{9} + C$

Schritt 16

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $y^{9}$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{y^{9}}{9} + C$